MA.3.1 导数

$\mathrm{设}y=f(x):U(x_0)\in R,\mathrm{自}\mathrm{变}\mathrm{量}\mathrm{在}{x}_0\mathrm{得}\mathrm{增}\mathrm{量}\mathrm{\Delta }x=x-x_0,$ $\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{相}\mathrm{应}\mathrm{增}\mathrm{量}\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0),\mathrm{若}\mathrm{极}\mathrm{限}$

$\mathrm{存}\mathrm{在},\mathrm{则}\mathrm{称}\mathrm{之}\mathrm{为}f(x)\mathrm{在}\mathrm{点}{x}_0\mathrm{的}\mathrm{导}\mathrm{数}($ #微商 $),$ $\mathrm{记}\mathrm{为}{f}^{\prime }(x_0),\mathrm{此}\mathrm{时}\mathrm{称}f(x)\mathrm{在}\mathrm{点}{x}_0\mathrm{可}\mathrm{导},\mathrm{否}\mathrm{则}\mathrm{称}f(x)\mathrm{在}\mathrm{点}{x}_0\mathrm{不}\mathrm{可}\mathrm{导}$.

• 等价形式
  • $f^{\prime }(x)=\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$
• 等价表示
  • $y^{\prime }(x_0),y^{\prime }{|}_{x=x_0},{\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{|}_{x_0},{\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}}{|}_{x=x_0}$

$\mathrm{函}\mathrm{数}y=f(x)\mathrm{在}{x}_0\mathrm{处}\mathrm{的}\mathrm{右}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{为}$

左导数略

$f(x)\mathrm{在}{x}_0\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{导}\iff f_{-}^{\prime }\left(x_0\right)=f_{+}^{\prime }\left(x_0\right)$ $\mathrm{在}{x}_0\mathrm{处}\mathrm{需}\mathrm{要}\mathrm{有}\mathrm{定}\mathrm{义}+\mathrm{不}\mathrm{间}\mathrm{断}$

证明$f(x)=|x|\mathrm{在}x=0\mathrm{不}\mathrm{可}\mathrm{导}$

证明:
$\begin{array}{r}{f}_{+}^{\prime }\left(0\right)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{|x|-0}{x}}\\ =\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{x}{x}}=1\\ f_{-}^{\prime }\left(0\right)=-1\end{array}$

#添项

$\begin{array}{rl}& f^{\prime }\left(x_0\right)=1:\\ & \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+2h)-f(x_0-h)}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{[f(x_0+2h)-f\left(x_0\right)]-[f(x_0-h)-f\left(x_0\right)]}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+2h)-f\left(x_0\right)}{h}}+\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0-h)-f\left(x_0\right)}{-h}}\\ & =2f^{\prime }\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\\ & =3\end{array}$

$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+\alpha h)-f(x_0-\beta h)}{h}}=(\alpha +\beta )f^{\prime }(x_0)$

$\begin{array}{r}\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\left|h\right|-|-h|}{h}}=0\end{array}$

$\mathrm{若}y=f(x)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}I\mathrm{内}\mathrm{每}\mathrm{点}\mathrm{有}\mathrm{导}\mathrm{数},\mathrm{在}I\mathrm{的}\mathrm{闭}\mathrm{端}\mathrm{点}\mathrm{有}\mathrm{单}\mathrm{侧}\mathrm{导}\mathrm{数},$ $\mathrm{则}\mathrm{称}f(x)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}I\mathrm{可}\mathrm{导}，\mathrm{记}\mathrm{为}f\in D(I).$ $\mathrm{而}{f}^{\prime }(x)\mathrm{称}\mathrm{为}f(x)\mathrm{的}\mathrm{导}(\mathrm{函})\mathrm{数}$

$\mathrm{若}y=f(x)\mathrm{在}\mathrm{点}{x}_0\mathrm{可}\mathrm{导}，\mathrm{则}\mathrm{有}$

$f(x)=x^{\frac{1}{3}}\mathrm{在}x=0\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{但}\mathrm{不}\mathrm{可}\mathrm{导}$
切线为$x=0(k\to \pm \mathrm{\infty })$

$f(x)=|x|\mathrm{在}x=0\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{但}\mathrm{不}\mathrm{可}\mathrm{导}$

$\mathrm{设}u=g(x)\mathrm{在}x\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{导},$ $\mathrm{而}y=f(u)\mathrm{在}u=g(x)\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{导},$ $\mathrm{则}y=f(g(x))\mathrm{在}x\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{导},$ $\mathrm{且}$

$\mathrm{设}\mathrm{可}\mathrm{导}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{于}0,$ $\mathrm{又}y=\ln |f(x)|.\mathrm{证}\mathrm{明}$

证明:
$y=\{\begin{array}{l}\ln f(x),x\ge 0\\ \ln [-f(x)],x<0\end{array}$
$\therefore y^{\prime }=\{\begin{array}{l}\ln {\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}},x\ge 0\\ \ln {\displaystyle \frac{-f^{\prime }(x)}{-f(x)}},x<0\end{array}=\ln {\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}$

$$(\ln |f|{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}$$

$\mathrm{特}\mathrm{别}\mathrm{地},$ $(\ln |x|{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x}}$

$y=f(x{)}^{g(x)}\Rightarrow \ln y=g(x)\ln f(x)$

$y=e^{x\ln x}$

(1). 复合函数求导 (2). 对数求导法

$\mathrm{设}y=f(x)\mathrm{是}\mathrm{严}\mathrm{格}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{可}\mathrm{导}\mathrm{函}\mathrm{数}(f^{\prime }(x)\ne 0),$ $\mathrm{则}\mathrm{它}\mathrm{的}\mathrm{反}\mathrm{函}\mathrm{数}x=f^{–1}(y)\mathrm{在}y\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{导},$ $\mathrm{且}$

$y=\arcsin x\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$

$y=\arcsin x\iff x=\sin y(y\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}))$
$y^{\prime }={\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}}}={\displaystyle \frac{1}{\cos y}}$
$\mathrm{以}\mathrm{下}\mathrm{步}\mathrm{骤}\mathrm{可}\mathrm{省}\mathrm{略},\mathrm{为}\mathrm{了}\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{习}\mathrm{惯},\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{回}\mathrm{代}y$
$={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^{2}y}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$

$y=\arctan x\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$

$y=x{e}^x\mathrm{的}\mathrm{反}\mathrm{函}\mathrm{数}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{(x+1)e^x}}\dots (\mathrm{无}\mathrm{法}\mathrm{回}\mathrm{代})$

二阶导的前提: 在该点邻域内有一阶导

$y=x^n,y^{(n)}=?,y^{(n+1)}=?$

$\mathrm{对}\mathrm{于}\mathrm{一}\mathrm{个}n\mathrm{次}\mathrm{多}\mathrm{项}\mathrm{式}:n\mathrm{阶}\mathrm{导}\mathrm{不}\mathrm{为}0,n+1\mathrm{及}\mathrm{以}\mathrm{上}\mathrm{全}\mathrm{为}0$

• 三角函数: 导数增加$\frac{\pi }{2}$相位
• L13: $y^{(n)}=\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -n+1)(1+x{)}^{\alpha -n}$

$\mathrm{设}\mathrm{函}\mathrm{数}u,v\mathrm{有}n\mathrm{阶}\mathrm{导}\mathrm{数},\mathrm{则}$

1. $(u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)};$ $(cu{)}^{(n)}=c{u}^{(n)},\mathrm{其}\mathrm{中}c\mathrm{为}\mathrm{常}\mathrm{数}$
2. $(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}$ 类二项式定理, 证明使用数学归纳法

$y=\arctan x,y^{(n)}(0)=?$

$y^{(2k)}(0)=0,y^{(2k+1)}(0)=(-1{)}^k(2k)!$
证明:
$y^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}=1$
$\Rightarrow (1+x^2)y^{\prime }=1$
$\mathrm{取}n\mathrm{阶}\mathrm{导}:$ $C_n^0\cdot (1+x^2)\cdot y^{(n+1)}+C_n^1\cdot 2x\cdot y^{(n)}+C_n^2\cdot 2\cdot y^{(n-1)}+0=0$
$x:=0\Rightarrow y^{(n+1)}(0)=-y^{(n-1)}(0)$
$\mathrm{其}\mathrm{中},y^{(0)}(0)=0,y^{(1)}(0)=1$
$\therefore n=2k:y^{(2k)}=0;n=2k+1:y^{(2k+1)}(0)=(-1{)}^k(2k)!$